圆锥曲线中定义的巧用

成都米阳教育机构  高中数学教师  陈功发

在米阳进行高中数学培训这几年来，一直感觉参加的学生无论水平高低都不太重视数学定义，往往盲目套用公式，导致计算过程复杂且计算结果不准确。为此，我在教学中经常进行专题训练，收到了很好的效果。下面以圆锥曲线为例，通过几道题来说明巧用、妙用数学定义的精彩作为。

圆锥曲线的定义确定了圆锥曲线的本质特征。揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质，用圆锥曲线定义解题是解析几何中一种常用的解题方法。若题目中出现点到两定点的距离之和或者是距离之差是常数，可联想第一定义；若题目中出现动点到定点的距离之比是常数或者是出现“准线”、“焦半径”、“离心率e”等信息，可以用第二定义求解。

例1.已知F₁、F₂是双曲线 的焦点，P是双曲线上的一点，且︱PF₁︱·︱PF₂︱=36。求∠F₁PF₂的大小。

 解：如图由题设得：︱F₁F₂ ︱= =10

由第一定义知  =2a=2×4=8

由余弦定理有

         ∴∠F₁PF₂=

评注：︱PF₁︱·︱PF₂︱=K（K为常数）是一个常见的已知条件，不管在椭圆或双曲线的问题中，若遇此条件都可以联想用第一定义求解，十分方便！

◆变式演练：已知两圆 ， 。求与圆C₁、C₂相外切的动圆圆心P的轨迹方程。

解：由条件知 。由双曲线第一定义，我们立即知道，点P的轨迹就是以C₁ 、C₂为焦点的双曲线左支，问题得以快速突破！

∵   c=3    ∴

故所求方程为   （x＜0）

例2. 解不等式

解：原不等式可变形为

令y²=1则有    …………（※）

由双曲线的第一定义可知，满足（※）式的点（x、y）是在双曲线 的两支之间，从而原不等式等价于

∴原不等式解集为

评注：将不等式所表达的抽象数量关系转化为圆锥曲线的几何背景，这是一种生动活泼的思维方式，正所谓数形结合威力大！

例3.椭圆以y轴为准线，离心率e= ，且过定点M（1，2）。

求这个椭圆左顶点A的轨迹方程。

解：设A（x,y）为左顶点，F（x₀,y₀）为左焦点，依据椭圆第二定义，有  又y轴为准线，则 ∴

又M（1，2）在椭圆上 即

即

∴椭圆左顶点的轨迹方程为：

评注：题中出现“准线”、“离心率”等条件，自然联想用第二定义解题，简单快捷。

总之，在圆锥曲线的问题中，重视定义的灵活运用，既可强化圆锥曲线的概念，又可简化运算，收到事半功倍的效果。然而，在其他数学问题中，又何尝不是这样呢？数学带给我们的启示之一，就在于“大事化小、小事化了”——把复杂问题简单化！而转化的关键正是遵循定义、遵循原理——遵纪守法！！